저자: 퀀토디안 출처: 매체 번역: 굿오바, 골든파이낸스

소개

2014년 지오바니 산토스타시가 처음 제안하고 2019년 퀀토디안이 다시 표현한 비트코인의 시간 기반 힘의 법칙(복도형과 3변수 모델 모두)은 비트코인 가격과 시간 사이의 관계를 설명합니다. 구체적으로 이 모델은 비트코인 창립 블록 이후 일수의 로그와 비트코인 USD 가격의 로그 사이의 선형 관계를 설명합니다.

이 모델은 마르셀 버거, 팀 스톨테, 닉 엠블로 등 많은 비평가들의 관심을 끌었습니다. 이 모델에 대한 '반박문'을 작성했습니다. 이 논문에서는 이 세 비평가의 핵심 주장 중 하나인 시간과 가격 간의 동조화 결여에 대해 분석하여 이 모델을 "유효하지 않은" 것으로 간주하고 단지 가짜 관계를 제시하는 것을 목표로 합니다.

이것이 정말 사실일까요?

이 글에서는 이 질문에 대해 자세히 살펴봅니다. 그 결과, 엄밀히 말해 시간에 의존하는 모델에서는 코인 통합이 존재할 수 없다는 결론에 도달하게 됩니다. 그럼에도 불구하고 공분산에 필요한 통계적 특성 중 하나가 시간 기반 전력법 모델에 존재한다는 것은 부인할 수 없는 사실입니다. 따라서 우리는 시간 기반 힘의 법칙이 느슨한 의미에서 공적분하고 있으며, 비판자들은 틀렸고, 이 모델은 완벽하게 유효하다고 결론지었습니다. 이 결론은 주식 흐름(S2F) 모델뿐만 아니라 장기 주식 시장 지수 가격에서 관찰되는 기하급수적 성장에도 동일하게 적용됨을 보여줍니다.

개념 입문

동일성 wtf

길을 잃으셨나요? "동질성"이라는 단어가 생소하신가요? 걱정하지 마세요. 인과적 추론과 비연관성 관계 분야의 전문가이자 『왜』의 저자인 유다 펄은 이 주제에 대해 아무것도 모른다고 주장합니다. 당면한 문제와 관련된 용어를 완전히 명확히 하기 위해 노력하겠습니다.

흥미롭고 매혹적인 것은 #비트코인 공간에서 X에 대한 열띤 공분산 논쟁인데, 이 주제는 피상적인 수준이라는 특징이 있습니다. 주식 흐름과 힘의 법칙을 따르는 많은 사람들이 혼란스러워하고 있습니다. 관심 있는 독자는 X에 "코인 통합이란 무엇인가"라는 검색어를 입력하면 직접 확인할 수 있습니다. 시간이 지남에 따라 이해의 폭이 넓어지고 구체화되는 기여자들도 있지만, 여전히 혼란스러워하거나 입장을 바꾸거나 길을 잃는 기여자들도 있습니다. 이제야 이 주제에 대해 논의하기 시작했습니다.

먼저 몇 가지 배경 지식

스토캐스틱 프로세스에는 확률 변수가 포함됩니다. 확률 변수의 값은 미리 정해져 있지 않습니다. 이와는 대조적으로 결정론적 프로세스는 모든 측면이 미리 알려져 있기 때문에 사전에 정확하게 예측할 수 있습니다. 주식 시장 가격과 같은 것은 자산의 가격을 미리 예측할 수 없기 때문에 확률적이라고 할 수 있습니다. 따라서 우리는 주식이나 비트코인 가격과 같은 시계열을 무작위 변수에 대한 관찰로 생각합니다.

반면, 시간의 흐름은 결정론적 패턴을 따릅니다. 불확실성 없이 매 초, 매 초가 지나갑니다. 따라서 이벤트가 발생한 후 경과된 기간은 결정론적 변수입니다.

신호의 평활도

동일성을 살펴보기 전에 먼저 그 근간이 되는 개념인 평활도에 대해 알아보겠습니다:

스무스 프로세스는 느슨하게 말하면 시간이 지나도 동일한 속성을 갖는 확률적 프로세스입니다. 이러한 속성의 예로는 평균과 분산이 있으며, 이는 평활 프로세스를 위해 정의되고 안정적입니다. 평활 시계열의 동의어는 I(0)입니다. 매끄러운 과정의 시계열은 "드리프트"가 없어야 하며 평균(일반적으로 0)으로 되돌아가는 경향이 있어야 합니다.

비정형 과정의 예로는 물리학에서 브라운 운동 또는 입자 확산을 설명하는 랜덤 워크가 있는데, 랜덤 워크에서 각각의 새로운 값은 이전 값에 난수를 더한 값에 따라 달라집니다. 비평활 과정의 속성(평균 및 분산 등)은 시간에 따라 달라지거나 정의되지 않습니다. 비스무트 프로세스는 I(1) 이상이지만 일반적으로 I(1)입니다. 비고정 프로세스에서 비롯된 시계열은 시간이 지남에 따라 "드리프트", 즉 고정된 값에서 멀어지는 경향이 있습니다.

I(1) 기호는 시계열이 정상 상태에 도달하기 전에 '발산'해야 하는 빈도를 나타냅니다. 차이는 시계열의 한 값과 이전 값 사이의 차이입니다. 이는 미분을 구하는 것과 거의 같습니다. 평활 시계열은 이미 평활한 상태이므로 0번의 차이가 있어야 평활 상태가 되므로 I(0)이 됩니다. I(1) 시계열은 한 번 차이가 있어야 평활 상태가 됩니다.

위 그림은 주황색 시계열을 한 번 차분하여 파란색 시계열을 구한 것입니다. 이와 동일하게 주황색 시계열은 파란색 시계열을 적분하여 얻을 수 있습니다.

여기서의 단위근 과정은 자동 회귀 모형(더 정확하게는 AR(1) 유형)을 의미하며, 이 모형에서 로우 매개변수는 1로 추정됩니다. 로우와 근을 혼용하여 사용할 수 있지만, 로우는 일반적으로 과정을 알 수 없으므로 추정해야 한다는 사실을 나타냅니다. 추정 결과는 "루트" 값입니다.

로 값은 프로세스가 이전 값을 얼마나 잘 기억하는지를 나타냅니다. u는 백색 잡음으로 가정되는 오차 항을 나타냅니다.

단위 루트 프로세스는 무작위로 방황하는 비스무스 프로세스입니다. "루트" 또는 로 값이 1 미만인 프로세스는 드리프트하지 않는 경향이 있으므로 고정적입니다. 장기적으로는 1에 가까운(그러나 그보다 낮은) 값도 드리프트가 아닌 평균으로 되돌아가는 경향이 있습니다. 따라서 단위 근값 프로세스는 근값이 1에 매우 가까운 프로세스와는 근본적으로 동작이 다르기 때문에 특별합니다. 아래 그림은 4개의 알려진 자동 회귀 프로세스에서 생성된 4개의 데이터 샘플을 보여주며, 각각 다른 로 값을 가지고 있습니다.

두 신호의 공분산

두 개의 확률 변수(이 경우 시계열)와 시계열 사이의 공분산의 존재 여부입니다. 시계열)이 서로 공적분 관계에 있는지 또는 없는지를 나타냅니다. 두 시계열이 공적분되려면 두 시계열이 같은 순서로 적분되어야 하고 평활하지 않아야 합니다. 또한 (이것이 핵심 부분입니다.) 두 시계열의 선형 조합이 매끄러워야 합니다.

공적분이 없는 신호의 예

두 시계열이 평활하지 않은 경우 선형 조합(이 경우 단순히 두 시계열의 차이를 선택)도 일반적으로 평활하지 않습니다.

코인 통합 신호의 예

평활하지 않은 두 시계열이 장기인 경우 두 개의 비고정 시계열이 오랫동안 "같은 방식으로" 드리프트하는 경우 선형 조합(여기서는 r2-0.5*r1을 선택)은 고정적일 수 있습니다.

Tu 등[1]은 공적분을 직관적으로 잘 설명합니다."

"시계열 간 공적분의 존재는 시계열이 공통된 확률적 드리프트."

두 개의 비고정 시계열이 부드러운 선형 조합을 갖는다면 왜 유용할까요? 두 개의 시계열 x와 y가 있고, x를 기준으로 y를 모델링하려고 한다고 가정해 보겠습니다. 모델 오차는 x와 y의 선형 조합으로 주어집니다: 모델 오차 = y - a - b*x. 우리는 이 모델 오차가 안정적이기를, 즉 장기적으로 표류하지 않기를 원합니다. 모델 오차가 장기적으로 표류한다면 이는 모델에 문제가 있다는 의미이며, 정확한 예측을 할 수 없다는 뜻입니다.

디테일이 차이를 만든다

보다 공식적인 정의는 Engle과 Granger의 "공적분과 오류 수정: 표현, 추정 및 테스트"[2]에서 찾을 수 있습니다(Granger는 공적분 개념의 발명가입니다). 2003년 노벨 경제학상 수상)의 논문으로, 공적분 탐지에 대한 주요 개념과 테스트를 정의합니다. 이 논문의 핵심은 시계열이 확률적이며 결정론적 요소가 없다는 가정입니다(이 점은 나중에 설명하겠습니다).

시간과 비트코인 가격에 적용

시간 기반 힘의 법칙에서 의 경우, 두 가지 변수가 있습니다.

1. log_time: 블록 생성 이후 일수의 로그

2. log_price: 가격의 로그

엥글과 그레인저의 정의에 따르면, 두 변수 모두 무작위여야 하고, 결정적 요소가 없어야 하며, 비고정적이어야 합니다. 또한 두 변수의 부드러운 선형 조합을 찾을 수 있어야 합니다. 그렇지 않으면 두 변수 간에 공적분 관계가 성립하지 않습니다.

자세한 내용을 살펴보기 전에 평활성이나 공적분 개념 없이 모델 데이터 자체의 그래프를 보여주는 것부터 시작하겠습니다. 시간 기반 파워 법칙에 의해 생성된 적합도가 시각적으로 상당히 좋아 보입니다. 잔차 벡터가 드리프트를 바로 나타내는 것은 아닙니다.

또한, 이 모델은 뛰어난 표본 외 성능을 보여줍니다(아래 참조). 표본 외 성능이 우수하다는 것은 이 모델이 스퓨리어스 상관관계에 기반한 모델은 스퓨리어스, 즉 정확한 예측을 할 수 없다는 주장과는 일치하지 않습니다. 표본 외 성능은 제한된 양의 데이터(특정 날짜까지)에 모델을 맞추고 모델이 맞지 않는 기간을 예측하여 테스트할 수 있습니다(교차 검증과 유사). 표본 외 기간 동안 관측 가격은 모델 가격과 자주 교차했으며 관측 가격의 최대 오프셋은 모델 가격에서 체계적으로 벗어나지 않았습니다.

모델 출시 후(2019년 9월) 어떤 방식으로도 속일 수 없으므로 모델의 성능을 더 비판적으로 살펴볼 수 있습니다. --사후에 모델을 변경할 수 없기 때문입니다.

모델의 예측력이 가짜 상관관계에만 근거한다는 주장에 대해서는 신중하게 접근해야 합니다.

단계별 공적분

로그_시간과 로그_가격 간에 공적분이 가능하려면 두 변수가 확률 변수와 같은 차수, 적어도 차수 1의 적분이어야 합니다.

로그_가격 변수

로그_가격은 원활한 시간입니까? 시퀀스? Nick은 지정되지 않은 스타일의 ADF 테스트(비평활성 테스트)와 KPSS 테스트(평활성 테스트)를 사용하면 로그(가격)는 의심할 여지없이 비평활성이므로 I(1) 이상이라고 결론을 내립니다.Marcel Burger는 육안 검사로 I(1)이라고 결론 내립니다.Tim Stolte는 더 흥미로운 관찰을 합니다: 그는 다른 스타일에서 ADF 테스트(비평활성 테스트)를 수행합니다. 서로 다른 기간에 ADF 테스트(스타일이 지정되지 않음)를 수행하고 "따라서 비평활성을 단호하게 거부하고 이것이 로그 가격의 비평활성을 나타내는 것이라고 결론을 내릴 수 없다"고 언급했습니다.

자체 분석을 해보겠습니다. 팀 스톨테와 마찬가지로, 항상 사용 가능한 첫 번째 날짜부터 시작하여 하루에 하루씩 추가하는 방식으로 다양한 시간대에 ADF 테스트를 적용해 보겠습니다(일별 데이터 사용). 이렇게 하면 시간이 지남에 따라 ADF 테스트 결과가 어떻게 변하는지 확인할 수 있습니다. 하지만 팀과 닉과는 달리 우리는 어떤 버전의 ADF 테스트를 실행할지 지정할 것입니다. 위키백과에 따르면 DF 및 ADF 테스트에는 세 가지 주요 스타일이 있습니다.

이 세 가지 버전의 차이점은 서로 다른 트렌드에 적응(제거)할 수 있다는 것입니다. 이는 결정론적 추세를 제거해 달라는 Engle과 Granger의 요청과 관련이 있는데, 이 세 가지 버전은 세 가지 간단한 유형의 결정론적 추세를 제거할 수 있습니다. 첫 번째 버전은 과거 로그 가격 데이터만을 사용하여 일일 로그 가격 변화를 설명하려고 시도합니다. 두 번째 버전은 상수 항을 사용할 수 있으며, 그 결과 log_price가 선형 추세(상승 또는 하락)를 가질 수 있습니다. 세 번째 버전은 이차(포물선) 성분을 허용합니다.

팀과 닉이 어떤 버전을 실행했는지는 알 수 없지만, 세 가지 버전을 모두 실행해 보겠습니다.

ADF 테스트에서는 최대 1의 지연을 사용하지만 더 긴 지연을 사용한다고 해서 결과와 결론이 크게 달라지지는 않습니다. 여기서 "maxlag"는 1이고 "n"을 사용하는 파이썬의 statsmodels.tsa.stattools.adfuller 함수를 사용하겠습니다, "c" 및 "ct"를 "회귀" 매개변수로 사용합니다(위의 Wikipedia에 설명된 세 가지 스타일과 동일). 아래 그림에는 테스트에서 반환된 p값(통계적 유의성의 척도)이 표시되어 있으며, 값이 낮을수록 평활화 가능성이 높다는 것을 의미합니다(일반적으로 0.05의 임계값 사용).

첫 번째 스타일(녹색 선)은 로그_가격 시계열이 비고정적이라는 결론을 명시적으로 내리는 것을 관찰할 수 있습니다. 세 번째 버전의 테스트(주황색 선)는 동일한 결론을 도출하지만 덜 결정적입니다. 흥미롭게도, 상수 항을 고려한 테스트(파란색 선)는 시계열이 평활한지 여부를 판단하지 못합니다(Tim은 상수 항이 있는 ADF 테스트도 사용했을 가능성이 큽니다). 세 가지 버전이 이렇게 다른 이유는 무엇이며, 특히 상수 항이 있는 버전에서 로그 가격이 평활하다는 것을 배제하지 못하는 이유는 무엇일까요?

한 가지 설명이 있을 수 있습니다. log_price 차이에 상수 항만 사용하면(로그가격에 선형 항이 생기므로) 시계열이 '매우 잘' 맞아서 거의 고정된 것처럼 보이는 잔차를 생성합니다. 신호(시작과 끝의 편차가 상당히 크긴 하지만)와 거의 일치합니다. 지금까지 log_price에서 결정적 추세를 전혀 사용하지 않거나 이차 항의 결정적 효과를 사용하는 것은 잘 작동하지 않았습니다.

이것은 이미 시간과 log_price 사이에 관계가 있다는 강력한 힌트를 제공합니다. 실제로 상수 항을 사용한 ADF 테스트에서 신호가 평활하다는 결론이 나온다면, 이는 선형 시간 항이 평활한 잔차를 얻을 수 있을 만큼 로그_가격에 잘 근접한다는 것을 의미합니다. 평활 잔차를 얻는 것은 스퓨리어스가 없는 관계(즉, 올바른 설명 변수를 찾았다는 의미)의 신호이기 때문에 바람직합니다. 선형 시간 추세는 우리가 원하는 것과 정확히 일치하지는 않지만, 거의 근접한 것 같습니다.

우리의 결론은 (다른 게시물에서) 다음과 같이 언급한 마르셀 버그의 결론과는 현저히 다릅니다."

"이전 분석에서 저는 비트코인의 가격이 1차 적분이라는 것을 보여줬고, 지금도 마찬가지입니다. 비트코인은 시간이 지남에 따라 가격이 변하는 데 결정적인 요인이 없습니다."

선형 시간이 시간에 따른 비트코인의 가격 움직임을 완전히 설명하지는 못하지만, log_price에 결정적 시간 요소가 있다는 것은 분명합니다. 또한, 엥겔과 그레인저가 요구한 대로 적절한 결정론적 요소를 제거하면 log_price가 I(1)이라는 것은 분명하지 않습니다. 대신 추세 평활화된 것처럼 보이지만, 여전히 적절한 결정적 요소를 찾아야 합니다.

공적분을 찾고 있는 경우, 두 변수가 공적분되려면 둘 다 I(1) 이상이어야 하므로 log_price가 I(1)이 아니라는 사실은 이미 문제가 됩니다.

log_time 변수

이제 log_time 변수를 살펴봅시다. 는 log_time이 6차 적분인 것으로 보인다고 결론을 내립니다(그는 수치 문제가 발생할 때까지 그 차이를 유지합니다). 그는 log_time과 같은 수학 함수가 완전히 결정론적인 변수에서 무작위 변수로 변환될 것으로 기대하는 것은 터무니없는 생각이라고 말합니다.

Nick은 log_time과 log_price 변수에 대해서도 같은 결론에 도달합니다. log_time은 비평활성이므로 I(1) 이상이라는 것은 의심의 여지가 없습니다. 팀 스톨트는 log_time이 구조상 비평활성이라고 주장합니다. 이것은 놀라운 주장입니다! 적분 순서와 공분산은 무작위 변수의 개념을 참조하며, 결정론적 경향을 제거합니다(위의 Engle과 Granger [2] 참조). 참고로, 결정론적 변수의 값은 미리 알 수 있지만 확률론적 변수의 값은 그렇지 않습니다. 시간은 로그 함수와 마찬가지로 (당연히) 완전히 결정론적이며, 따라서 log_time도 완전히 결정론적입니다.

엥글과 그레인저를 따라 log_time에서 결정적 추세를 제거하면 0의 벡터가 남습니다. 의 벡터가 남게 됩니다. log(x) - log(x) = 0, 즉 여전히 완전히 결정론적인 신호가 있기 때문입니다. 즉, 완전 결정론적 변수인 log_time을 무작위 변수로 변환할 수 없으므로 Engle과 Granger의 프레임워크를 사용할 수 없는 상황에 처하게 됩니다.

공적분 분석에서 완전 결정형 변수를 갖는 것이 얼마나 문제가 되는지 이해하는 또 다른 방법은 평활성 테스트(예: Dickey-Fuller 테스트)가 이를 어떻게 처리하는지 고려하는 것입니다. 가장 간단한 경우(y는 관심 변수, rho는 추정할 계수, u는 백색 잡음으로 가정한 오차 항)를 고려해 보겠습니다."

어떻게 해야 할까요? t의 모든 값에 대해 오차 항 u_{t}는 0입니다. 임의 성분이 없기 때문에 오차가 필요하지 않습니다. 하지만 log_time은 시간의 비선형 함수이므로 rho의 값도 시간에 따라 달라져야 합니다.

랜덤 변수의 경우 이 모델이 더 유용한데, 변수 rho가 이전 랜덤 값의 메모리 정도를 포착하기 때문입니다. 그러나 임의의 값이 없는 경우 이 모델은 의미가 없습니다.

다른 유형의 테스트도 결정론적 변수와 동일한 문제가 있습니다.

따라서 완전 결정론적 변수는 공적분 분석에 포함되지 않습니다. 다시 말해, 공적분 분석은 결정론적 신호에는 적용되지 않으며, 신호 중 하나가 결정론적일 경우 가짜 관계를 주장하기 위한 시대착오적인 도구입니다.

어떻게 해야 할까요?

동일성은 둘 다 I(d)인 두 변수 사이에서만 정의되며, 여기서 d는 최소 1입니다. 로그_시간은 완전히 결정적인 변수이며 평활성 테스트에 사용할 수 없다는 것을 이미 살펴보았습니다. log_time이 I(0), I(1) 또는 I(6)인지는 알 수 없습니다. 또한 log_price는 I(1)이 아니라 추세 평활입니다.

log_time과 log_price 사이에 정의되지 않은 공분산이 있다는 사실은 시간 기반 전력 법칙이 통계적으로 유효하지 않거나 가짜라는 것을 의미하나요?

모든 적절한 통계 분석에서 결정론적 변수와 추세 평활화 변수를 혼합하여 사용하는 것은 완벽하게 유효합니다. 비평가들이 믿으려는 것처럼 공적분은 통계적 관계 분석의 중심이 아닙니다.

따라서 공적분은 불가능합니다. 하지만 평활도 분석이 전력법 모델에 적용될 수 있는 여지가 여전히 있을 수 있습니다. 이에 대해 더 자세히 살펴보겠습니다.

우리가 입력 변수 간의 공적분 분석을 시작한 이유는 두 변수의 부드러운 선형 조합을 찾고 싶었기 때문입니다. 결정론적 변수(log_time)와 추세 평활 변수(log_price)를 결합하여 평활 변수를 구하는 것이 불가능할 근본적인 이유는 없습니다. 따라서 엄격한 의미의 공적분(잔차는 두 입력 신호의 선형 조합에 불과하므로)을 찾는 대신 잔차의 평활성을 간단히 테스트할 수 있습니다. 잔차가 평활하다면 엥겔-그랜저 공분산 테스트를 엄격하게 따르지 않더라도 공분산의 목표인 평활한 선형 조합을 찾을 수 있습니다.

심층 연구

James G. MacKinnon은 그의 논문 "공적분 테스트의 임계값"[3]에서 이를 정확하게 설명합니다. 에서 정확하게 설명합니다. 공적분 검정(잉글 그랜저 검정)은 "공적분" 회귀"(log_time과 log_price를 연결하는 회귀)가 수행된 경우 잔차의 평활성 검정(DF 또는 ADF 검정)과 동일합니다:

맥키넌은 로그_시간과 로그_가격을 연결하는 파라미터가 선험적으로 알려져 있으면 건너뛸 수 있다는 주장을 반복하고 있습니다. /em>인 경우, 잉글 그레인저 공적분 테스트를 건너뛰고 대신 잔차에 대해 세 가지 일반적인 평활성 테스트 스타일(DF 또는 ADF 테스트) 중 하나를 수행할 수 있습니다.

따라서 두 가지 접근법 중 하나를 사용할 수 있습니다. 생성되는 테스트 통계를 제외하고는 동일한 두 가지 방법 중 하나:

1. log_time을 log_price에 맞추고 잔차(오류)를 계산합니다. 이 잔차를 기준으로 DF 이상, 즉 ADF 테스트를 계산합니다. 결과 통계는 잔차가 평탄한지 아닌지를 알려줍니다.

2. log_time과 log_price가 I(1)이라고 가정하고 잉글-그랜저 공적분 검정을 실행합니다. 결과 통계는 잔차가 평활한지 아닌지도 알려줍니다.

ADF 테스트의 경우 파이썬의 statsmodels.tsa.stattools.adfuller 함수를 사용하고, 잉글-그랜저 테스트의 경우 statsmodels를 사용합니다. 두 함수 모두 상수를 사용하지 않는 플레이버(시간에 따른 일정한 드리프트 없음)를 사용하는데, 이는 잔차에 시간에 따른 일정한 드리프트가 포함되어서는 안 되기 때문입니다(이는 모델이 시간에 따라 가격을 과대 또는 과소 추정하기 시작한다는 것을 의미하기 때문입니다).

ADF 검정과 Engle-Granger 검정이 동등하다고 썼지만, 이는 완전히 사실이 아닙니다. Engle-Granger 공적분 검정은 N=2개의 확률 변수를 가정하는 반면, ADF 검정은 N=1개의 확률 변수를 가정합니다(N 은 자유도의 척도입니다.) 무작위 변수는 다른 무작위 또는 결정적 변수의 영향을 받을 수 있지만, 결정적 변수는 무작위 변수의 영향을 받을 수 없습니다. 따라서 이 사례(결정론적 변수 log_time이 하나만 있는 경우)에서는 ADF 테스트에서 반환되는 통계(무작위 변수가 N=1이라고 가정)가 선호됩니다. 원칙적으로 잉글-그랜저 테스트와 ADF 테스트는 일치하지 않을 수 있지만, 실제로는 시간 기반 모델의 경우 그렇지 않습니다. 아래에서 볼 수 있듯이 결론은 동일합니다. 부드러운 잔차 벡터를 얻을 수 있습니다.

두 테스트 모두 처음에 매끄러운 잔차를 나타내지 않는 것이 정상입니다. 이는 잔여 신호에 저주파 성분이 존재하기 때문이며, 이는 매끄럽지 않은 신호로 오인될 수 있습니다. 시간이 지남에 따라 평균 잔차가 크게 회복되어 사실상 안정화됩니다.

S2F와 장기 주가지수

S2F 모델은 엄격한 의미의 공적분은 시간 기반 파워 법칙과 유사한 이유로 (부분) 결정론적 입력인 (부분) 결정론적 입력이 불가능한 것으로 판명되어 일반적으로 무시되어 온 것으로 보입니다. 변수. 그러나 이 모델은 매우 안정적으로 보이는 잔차를 생성합니다.

실제로 잉글-그랜저 공적분 테스트와 ADF 안정성 테스트(결정변수와 확률변수가 존재하므로 선호됨) 모두 모두 0에 매우 가까운 p값을 생성합니다. 따라서 S2F 모델에 대해 "공적분 부족"(사실상 "평활성 부족"을 의미)의 근거를 배제해서는 안 됩니다.

그러나 2020년 초에 언급했듯이, S2F 모델을 유지해서는 안 된다는 다른 징후도 있습니다. BTCUSD 가격이 S2F 모델 예측보다 낮을 것이라는 우리의 예측은 선견지명이 있는 것으로 판명되었습니다.

시간 대비 장기 주가 지수(이 경우 재투자 배당금을 제외한 S&P 500)를 살펴보는 것도 흥미롭습니다. 주요 주식시장 지수는 평균 약 7%의 기하급수적인 성장률을 보인다는 것은 잘 알려져 있습니다. 실제로 지수 회귀를 통해 이를 확인할 수 있습니다.

여기에도 결정적 변수(시간)가 있습니다. 잉글 그랜저 공적분 테스트는 약 0.025의 p-값을 생성하고, ADF 테스트는( 선호)는 약 0.0075의 p-값을 생성합니다(그러나 이 값은 선택한 정확한 기간에 따라 크게 달라집니다). 다시 한 번, 잔차가 평활화됩니다. 주가의 지수 시간 추세는 유효합니다.

의미

S2F 모형은 초기에 건전한 계량경제학적 기초(특히 공적분의 존재)로 높은 평가를 받았습니다(특히 Marcel Burger와 Nick Emblow). . 시류가 바뀌고 엄격한 의미의 공적분은 S2F 모델에 존재할 수 없다는 것이 명백해지자, 마르셀과 닉은 배에서 뛰어내려 S2F 모델이 유효하지 않다고 선언했습니다. 이 사건 이후 S2F 모델에 대한 인식이 바뀐 것 같습니다. 에릭 월이 이 사건의 변화에 대해 짧게 요약한 글이 있습니다.

우리는 공적분과 평활성이 거의 같은 의미로 사용될 수 있다고 설명했고, 계량경제학 문헌(MacKinnon [3])도 이에 동의합니다(통계적 값을 제외하면). 이러한 통찰을 통해 우리는 S2F 모형이 공적분/평활성에 아무런 문제가 없음을 알 수 있으며, 따라서 공적분 부족으로 인해 S2F 모형에 대한 우리의 견해를 변경하는 것은 잘못된 것입니다. 우리는 S2F 모델이 잘못되었다는 데 동의하지만, 이는 동조화 부족이 아닌 다른 이유로 잘못된 것입니다.

비트코인의 시간 기반 힘의 법칙은 동조화 부족으로 인해 로그타임과 로그가격 사이의 관계가 가짜라는 비판을 받아왔습니다. 저희는 비트코인의 시간 기반 전력법에는 명백히 고정된 잔차가 존재한다는 것을 보여드렸으므로, 비판자들의 논리는 타당하지 않습니다.

비트코인의 시간 기반 전력법 모델은 유효하고, 안정적이며, 강력합니다. 언제나 그렇듯이.